🧩 Ngày 7: Trạng thái lượng tử và Hàm sóng
🧩 Ngày 7: Trạng thái lượng tử và Hàm sóng
1. Trạng thái lượng tử là gì?
- Trong toán lượng tử, trạng thái của một hệ (hạt, photon, electron…) được biểu diễn bằng vector trong không gian Hilbert.
- Vector trạng thái thường ký hiệu là:
Gọi là ket, theo ký hiệu Dirac.
2. Dạng tổng quát của trạng thái lượng tử
Với hệ đơn giản như 1 qubit (hệ nhị phân, giống như 0 và 1):
\[|\psi⟩ = a|0⟩ + b|1⟩\]Trong đó:
✅ $|0⟩ = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ ✅ $|1⟩ = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ ✅ a, b là số phức hoặc số thực, thỏa mãn:
\[|a|^2 + |b|^2 = 1\]Điều kiện này đảm bảo tổng xác suất đo được là 100%.
3. Hàm sóng (Wave Function) là gì?
- Hàm sóng là cách mô tả trạng thái lượng tử trong ngôn ngữ toán học.
- Với hệ liên tục (như vị trí hạt trên trục x), hàm sóng là:
Trong đó: ✅ $|\psi(x)|^2$ cho biết xác suất tìm thấy hạt tại vị trí x ✅ Hàm sóng phải được chuẩn hóa:
\[\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1\]| Lưu ý: Với hệ rời rạc (như qubit $ | 0⟩, | 1⟩$), ta chỉ cần tổng bình phương các hệ số bằng 1. |
4. Ví dụ minh họa:
Giả sử trạng thái:
\[|\psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |0⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} |1⟩\]Tính:
-
$ a ^2 + b ^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ -
Xác suất đo được:
-
$ 0⟩$: 50% -
$ 1⟩$: 50%
-
Đây là trạng thái siêu vị tiêu chuẩn (Superposition state), bạn sẽ gặp rất nhiều sau này.
🎯 Bài tập Ngày 7 cho bạn:
Viết 2 trạng thái lượng tử khác nhau, đảm bảo chuẩn hóa:
Ví dụ: Trạng thái 1: $|\psi_1⟩ = a|0⟩ + b|1⟩$ với $a = \sqrt{0.7}, b = \sqrt{0.3}$
| Trạng thái 2: Bạn tự chọn hệ số khác, thỏa mãn $ | a | ^2 + | b | ^2 = 1$ |
📝 Giải mẫu bài tập Ngày 7 - Trạng thái lượng tử chuẩn hóa
Trạng thái 1:
Đề bài gợi ý:
\[|\psi_1⟩ = \sqrt{0.7} \, |0⟩ + \sqrt{0.3} \, |1⟩\]Kiểm tra điều kiện chuẩn hóa:
\[|a|^2 + |b|^2 = (\sqrt{0.7})^2 + (\sqrt{0.3})^2 = 0.7 + 0.3 = 1\]✅ Chuẩn hóa hợp lệ.
Xác suất đo được:
-
Trạng thái $ 0⟩$: 70% -
Trạng thái $ 1⟩$: 30%
Trạng thái 2:
Tôi tự chọn một trạng thái hợp lệ:
\[|\psi_2⟩ = 0.6 \, |0⟩ + 0.8 \, |1⟩\]Kiểm tra điều kiện chuẩn hóa:
\[|a|^2 + |b|^2 = (0.6)^2 + (0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1\]✅ Chuẩn hóa hợp lệ.
Xác suất đo được:
-
Trạng thái $ 0⟩$: 36% -
Trạng thái $ 1⟩$: 64%
🎯 Tóm tắt bạn cần nhớ:
- Trạng thái lượng tử luôn viết dưới dạng:
-
Phải thỏa mãn $ a ^2 + b ^2 = 1$ - Xác suất đo được chính là bình phương hệ số tương ứng