🌟 Ngày 11: Toán tử Hadamard và Siêu vị mạnh

1. Toán tử Hadamard là gì?

Toán tử Hadamard, ký hiệu là:

\[H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\]

Đây là một trong những toán tử quan trọng nhất trong lượng tử học, có khả năng:

✅ Biến trạng thái cơ bản thành trạng thái siêu vị (superposition) ✅ Là nền tảng cho tính toán song song của máy tính lượng tử

2. Tác động của toán tử Hadamard

**Tác động lên $

0⟩$:**

\[H \, |0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Vậy:

\[H \, |0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |0⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |1⟩\]

✅ Đây là trạng thái siêu vị cân bằng, 50% $

0⟩$, 50% $

1⟩$.

**Tác động lên $

1⟩$:**

\[H \, |1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Viết lại:

\[H \, |1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |0⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} \, |1⟩\]

Cũng là trạng thái siêu vị nhưng có sự khác biệt về dấu.

3. Ý nghĩa vật lý của toán tử Hadamard

Khi áp dụng lên $

0⟩$, tạo ra trạng thái siêu vị hoàn hảo — hạt vừa ở $

0⟩$ vừa ở $

1⟩$ với xác suất 50-50

Là cơ sở để tạo ra sự “song song tính toán” trong thuật toán lượng tử
Nếu áp dụng lần nữa, trạng thái sẽ trở về ban đầu (Hadamard là toán tử tự nghịch đảo)

4. Ví dụ thực tế

Cho hệ đang ở $

0⟩$:

Áp dụng Hadamard:

\[H \, |0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |0⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |1⟩\]

Trước khi đo: ✅ Hệ tồn tại đồng thời ở $|0⟩$ và $|1⟩$ ✅ Khi đo:

Xác suất đo $ 0⟩$ là $\frac{1}{2}$
Xác suất đo $ 1⟩$ là $\frac{1}{2}$

🎯 Bài tập Ngày 11 cho bạn

Cho trạng thái ban đầu $ 1⟩$
Áp dụng toán tử Hadamard lên $ 1⟩$
Viết lại trạng thái sau biến đổi
Tính xác suất đo được $ 0⟩$ và $ 1⟩$

📝 Giải mẫu Bài tập Ngày 11 - Toán tử Hadamard và Siêu vị

Đề bài:

Cho trạng thái ban đầu:

\[|1⟩ = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Áp dụng toán tử Hadamard:

\[H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\]

Yêu cầu:

Tính trạng thái sau biến đổi
Viết rõ trạng thái mới theo $ 0⟩$, $ 1⟩$
Tính xác suất đo được $ 0⟩$ và $ 1⟩$

✅ Bước 1: Tác động toán tử Hadamard lên $|1⟩$

Tính:

\[H \, |1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Viết lại theo $

0⟩$ và $

1⟩$:

\[|\psi'⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |0⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} \, |1⟩\]

✅ Bước 2: Kiểm tra chuẩn hóa

Tính tổng bình phương hệ số:

\[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

✅ Chuẩn hóa hợp lệ.

✅ Bước 3: Tính xác suất đo được $|0⟩$ và $|1⟩$

Xác suất đo được $ 0⟩$:

\[P(0) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} = 50\%\]

Xác suất đo được $ 1⟩$:

\[P(1) = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} = 50\%\]

✅ Dù có dấu trừ, bình phương lên vẫn là dương, nên xác suất hợp lệ.

🎯 Kết luận cuối cùng

Nội dung	Kết quả
Trạng thái sau biến đổi	(	\psi’⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}	0⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}}	1⟩ )
Xác suất đo (	0⟩)	50%
Xác suất đo (	1⟩)	50%
Trạng thái chuẩn hóa	Đúng

💡 Ý nghĩa vật lý

Ban đầu hệ ở $ 1⟩$ chắc chắn
Sau khi áp dụng Hadamard, hệ trở thành siêu vị cân bằng: vừa $ 0⟩$, vừa $ 1⟩$
Khi đo, kết quả có thể là $ 0⟩$ hoặc $ 1⟩$ với xác suất 50% mỗi bên
Đây là cách máy tính lượng tử khai thác tính “song song” của hệ