🧩 Ngày 4: Trị riêng (Eigenvalues) và Vector riêng (Eigenvectors)

1. Khái niệm đơn giản nhất

Vector riêng là một vector khi bị tác động bởi một ma trận sẽ không đổi hướng, chỉ thay đổi độ lớn.

Trị riêng là con số cho biết độ lớn bị thay đổi bao nhiêu.

Công thức cơ bản:

Cho ma trận A và vector v, nếu:

\[A \times \mathbf{v} = \lambda \times \mathbf{v}\]

v là vector riêng
λ (lambda) là trị riêng
Nghĩa là: Sau khi nhân ma trận A vào v, vector v vẫn cùng hướng, chỉ bị kéo dài hoặc rút ngắn bởi λ.

2. Ví dụ trực quan:

Giả sử:

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\]

Vector:

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Tính:

\[A \times \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 2 \times \mathbf{v}_1\]

Vậy:

v₁ là vector riêng
λ = 2 là trị riêng tương ứng

3. Vì sao quan trọng trong lượng tử?

Trong lượng tử:

Vector riêng = Trạng thái ổn định khi đo đạc
Trị riêng = Giá trị đo được (kết quả vật lý, ví dụ năng lượng, vị trí…)

Bạn chỉ đo được giá trị trị riêng, không thể biết toàn bộ trạng thái nếu chưa đo.

4. Bài tập tự làm cho bạn:

Cho ma trận:

\[B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\]

Tìm vector riêng và trị riêng của ma trận B
Kiểm tra lại phép tính như ví dụ trên

Gợi ý: Thử với:

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]