🧩 Ngày 2: Tích vô hướng (Dot Product) và Ý nghĩa trong hình học
🧩 Ngày 2: Tích vô hướng (Dot Product) và Ý nghĩa trong hình học
1. Tích vô hướng là gì?
Tích vô hướng là phép toán giữa 2 vector cho ra một số thực (không phải vector mới).
Công thức:
Cho hai vector:
\[\mathbf{A} = (x_1, y_1), \quad \mathbf{B} = (x_2, y_2)\]Tích vô hướng của A và B là:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2\]2. Ý nghĩa hình học
Tích vô hướng liên quan đến góc giữa hai vector:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| \times |\mathbf{B}| \times \cos(\theta)\]-
** A ** và ** B ** là độ lớn (độ dài) của hai vector - θ là góc giữa chúng
-
Nếu:
- Tích vô hướng > 0 → Góc < 90°, hai vector “cùng hướng” phần nào
- Tích vô hướng < 0 → Góc > 90°, hai vector “ngược hướng” phần nào
- Tích vô hướng = 0 → Hai vector vuông góc
3. Ví dụ tính tích vô hướng
Cho:
\[\mathbf{A} = (3, 4), \quad \mathbf{B} = (1, 2)\]Tính:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11\]Tiếp theo, tính độ lớn từng vector:
-
** A ** = √(3² + 4²) = 5 -
** B ** = √(1² + 2²) = √5 ≈ 2.236
Tìm góc giữa A và B:
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| \times |\mathbf{B}|} = \frac{11}{5 \times 2.236} ≈ 0.9839\]Vậy:
\[\theta ≈ \cos^{-1}(0.9839) ≈ 10^\circ\]➡️ Hai vector gần như cùng hướng, góc rất nhỏ.
🎯 Bài tập Ngày 2 cho bạn:
Cho:
\[\mathbf{C} = (5, -2), \quad \mathbf{D} = (-3, 7)\]Tính:
- C · D
- Độ lớn của C và D
- Góc giữa C và D (bằng công thức trên)
Ghi chú nhỏ cho lượng tử:
Trong toán lượng tử:
- Trạng thái được biểu diễn bằng vector
- Tích vô hướng giữa 2 trạng thái cho biết sự tương đồng hoặc xác suất chuyển trạng thái