🌟 Ngày 15: Cổng lượng tử nhiều qubit — Tập trung vào Cổng CNOT

🌟 Ngày 15: Cổng lượng tử nhiều qubit — Tập trung vào Cổng CNOT

1. Cổng lượng tử là gì?

  • Cổng lượng tử giống như các phép toán trong máy tính cổ điển
  • Tuy nhiên, cổng lượng tử tác động lên trạng thái lượng tử (qubit)
  • Có cổng đơn qubit (Hadamard, Pauli-X…)
  • Có cổng hai qubit trở lên — quan trọng nhất là CNOT

2. Cổng CNOT — Controlled-NOT

✅ Là cổng điều kiện giữa hai qubit:

  • Một qubit điều khiển (Control qubit)
  • Một qubit đích (Target qubit)

Nguyên lý hoạt động:

  • Nếu Control = $ 0⟩$ ⇒ không làm gì
  • Nếu Control = $ 1⟩$ ⇒ áp dụng Pauli-X (lật trạng thái) cho qubit đích

Ma trận CNOT (4x4):

\[\text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Cách hiểu: thứ tự các trạng thái:

\[|00⟩, \, |01⟩, \, |10⟩, \, |11⟩\]

3. Ví dụ cụ thể

Giả sử:

  • Trạng thái 2 qubit:
\[|\Psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |10⟩\]

  • Áp dụng CNOT:

    • Khi Control qubit là $ 0⟩$ → không làm gì
    • Khi Control qubit là $ 1⟩$ → lật qubit thứ hai

Từng bước:

  • Thành phần $ 00⟩$ → Control là $ 0⟩$ ⇒ không đổi
  • Thành phần $ 10⟩$ → Control là $ 1⟩$ ⇒ qubit thứ hai lật từ $ 0⟩$ thành $ 1⟩$ ⇒ $ 11⟩$

Vậy:

\[\text{CNOT} \, |\Psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |11⟩\]
Đây chính là trạng thái rối lượng tử nổi tiếng $ \Phi^+⟩$.

4. Tóm tắt: Cổng CNOT rất quan trọng vì

✅ Cho phép điều khiển tương tác giữa các qubit ✅ Là công cụ tạo ra rối lượng tử ✅ Cơ sở để xây dựng thuật toán lượng tử phức tạp

🎯 Bài tập Ngày 15 cho bạn

Cho:

  • Trạng thái ban đầu:
\[|\Psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |10⟩\]
  • Áp dụng Cổng CNOT (qubit đầu tiên là Control, qubit thứ hai là Target)

Yêu cầu:

  1. Viết rõ trạng thái sau khi áp dụng CNOT
  2. Kiểm tra trạng thái sau có phải trạng thái rối lượng tử không?

📝 Giải mẫu Bài tập Ngày 15 — Cổng CNOT và Trạng thái rối lượng tử

Đề bài:

Cho:

  • Trạng thái ban đầu:
\[|\Psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |10⟩\]

  • Áp dụng Cổng CNOT:

    • Qubit thứ nhất là Control
    • Qubit thứ hai là Target

Yêu cầu:

  1. Tính trạng thái sau khi áp dụng CNOT
  2. Kiểm tra trạng thái sau có phải rối lượng tử không?

✅ Bước 1: Áp dụng Cổng CNOT

Nhắc lại:

  • Nếu Control = $ 0⟩$ ⇒ không làm gì
  • Nếu Control = $ 1⟩$ ⇒ lật Target qubit

Từng thành phần:

  • Thành phần $ 00⟩$:
    • Control là $ 0⟩$
    • Không thay đổi ⇒ Giữ nguyên $ 00⟩$
  • Thành phần $ 10⟩$:
    • Control là $ 1⟩$
    • Target lật từ $ 0⟩$ thành $ 1⟩$ ⇒ $ 11⟩$

Vậy:

\[\text{CNOT} \, |\Psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, |00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \, |11⟩\]

Đây chính là trạng thái:

\[|\Phi^+⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \left( |00⟩ + |11⟩ \right)\]

✅ Bước 2: Kiểm tra trạng thái rối lượng tử

  • Trạng thái $ \Phi^+⟩$ là trạng thái nổi tiếng thuộc họ Bell States
  • Không thể tách trạng thái này thành tích của hai qubit riêng lẻ
  • Đây là trạng thái rối lượng tử mạnh, thể hiện sự liên kết giữa hai qubit

✅ Kết luận: Trạng thái sau khi áp dụng CNOT là trạng thái rối lượng tử.

🎯 Tóm tắt kết quả

Câu hỏi Đáp án    
Trạng thái sau CNOT ( \frac{1}{\sqrt{2}} , 00⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} , 11⟩ )
Trạng thái này có phải rối lượng tử không? ✅ Có, thuộc họ Bell States, không thể tách rời qubit    

💡 Ý nghĩa vật lý

  • Cổng CNOT là công cụ đơn giản nhưng cực kỳ mạnh mẽ để tạo ra rối lượng tử
  • Máy tính lượng tử khai thác sự rối để xử lý thông tin theo cách máy cổ điển không làm được
  • Bạn vừa thực hành nguyên lý cơ bản của lập trình lượng tử thực tế