🧩 Ngày 6: Không gian Hilbert là gì?

🧩 Ngày 6: Không gian Hilbert là gì?

1. Khái niệm đơn giản:

Không gian Hilbert là:

✅ Một không gian vector (giống như vector trong toán học thông thường) ✅ Có thể có vô hạn chiều, nhưng nhiều khi chúng ta chỉ xét vài chiều cụ thể ✅ Đi kèm với khái niệm tích vô hướng (Dot Product) để tính khoảng cách, góc giữa các vector

👉 Nói ngắn gọn: Không gian Hilbert là nơi chứa tất cả các trạng thái lượng tử có thể có.

2. Ví dụ dễ hiểu nhất:

Trong lượng tử:

  • Trạng thái $ 0⟩$ = $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$
  • Trạng thái $ 1⟩$ = $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$

Hai trạng thái này:

✅ Thuộc không gian Hilbert 2 chiều (Hilbert space of dimension 2) ✅ Giống như trục Ox, Oy trong hình học phẳng

3. Trạng thái tổng quát trong không gian Hilbert:

Bất kỳ trạng thái lượng tử nào cũng được viết dưới dạng:

\[|\psi⟩ = a |0⟩ + b |1⟩\]

Trong đó:

✅ a và b là số phức (trong ví dụ đơn giản, có thể coi là số thực) ✅ Phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

\[|a|^2 + |b|^2 = 1\]
Nghĩa là tổng xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái $ 0⟩$ hoặc $ 1⟩$ bằng 1.

4. Ý nghĩa vật lý:

  • Không gian Hilbert lưu trữ mọi khả năng trạng thái hệ lượng tử có thể có
  • Vector trong không gian Hilbert chính là trạng thái lượng tử
  • Toán học trong Hilbert Space cho phép bạn tính xác suất, dự đoán kết quả đo đạc

5. Bài tập Ngày 6 cho bạn:

Giả sử trạng thái lượng tử:

\[|\psi⟩ = \sqrt{0.6} \, |0⟩ + \sqrt{0.4} \, |1⟩\]
  1. Kiểm tra điều kiện chuẩn hóa: $ a ^2 + b ^2 = 1$
  2. Tính xác suất đo được trạng thái $ 0⟩$ và $ 1⟩$

📝 Giải bài tập Ngày 6 - Không gian Hilbert

Đề bài:

Trạng thái lượng tử:

\[|\psi⟩ = \sqrt{0.6} \, |0⟩ + \sqrt{0.4} \, |1⟩\]

Cần:

  1. Kiểm tra điều kiện chuẩn hóa: $ a ^2 + b ^2 = 1$
  2. Tính xác suất đo được $ 0⟩$ và $ 1⟩$

1. Kiểm tra chuẩn hóa

Trạng thái có:

  • $a = \sqrt{0.6}$
  • $b = \sqrt{0.4}$

Tính:

\[|a|^2 + |b|^2 = (\sqrt{0.6})^2 + (\sqrt{0.4})^2 = 0.6 + 0.4 = 1\]

✅ Thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ⇒ Hợp lệ, đây là một trạng thái lượng tử hợp lý.

2. Tính xác suất đo được từng trạng thái

**Xác suất đo được $ 0⟩$:**
\[P(0) = |a|^2 = (\sqrt{0.6})^2 = 0.6 = 60\%\]
**Xác suất đo được $ 1⟩$:**
\[P(1) = |b|^2 = (\sqrt{0.4})^2 = 0.4 = 40\%\]

🎯 Tóm tắt kết quả:

  • Trạng thái được chuẩn hóa hợp lệ

  • Xác suất đo được:

    • $ 0⟩$ là 60%
    • $ 1⟩$ là 40%

🔥 Điểm lưu ý cho bạn:

  • Dù trạng thái lượng tử có thể là tổ hợp phức tạp, kết quả đo lường luôn cho ra xác suất cụ thể
  • Sau khi đo, hệ “sụp đổ” về một trạng thái cụ thể (hoặc $ 0⟩$, hoặc $ 1⟩$)